Henry Segerman: Materiálová harmónia v matematike

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-16 16:15

Podľa legendy Pytagoras ako prvý zistil, že dve rovnako natiahnuté struny vydávajú príjemný zvuk, ak sú ich dĺžky spojené ako malé celé čísla. Odvtedy ľudí fascinuje tajomné spojenie krásy a matematiky, úplne hmotná harmónia foriem, vibrácií, symetrie – a dokonalá abstrakcia čísel a vzťahov.

Toto spojenie je efemérne, no hmatateľné, nie nadarmo umelci dlhé roky využívajú zákony geometrie a inšpirujú sa matematickými zákonmi. Henry Segerman sa len ťažko vzdával tohto zdroja myšlienok: napokon je povolaním a povolaním matematik.

Kleinová fľaša „Mentálnym zlepením okrajov dvoch prúžkov Mobius,“hovorí Henry Segerman, „môžete získať Kleinovu fľašu, ktorá má tiež jeden povrch. Tu vidíme Kleinovu fľašu vyrobenú z prúžkov Mobius s okrúhlym okrajom.

Skôr ako by to mohlo vyzerať v trojrozmernom priestore. Keďže pôvodné „okrúhle“prúžky Mobius idú do nekonečna, potom taká Kleinova fľaša bude pokračovať do nekonečna dvakrát a prekríži sa, čo je vidieť na soche. Zväčšená kópia tejto sochy zdobí Katedru matematiky a štatistiky na University of Melbourne.

Fraktály

„Narodil som sa do rodiny vedcov a myslím si, že s tým súvisí aj môj záujem o čokoľvek, čo si vyžaduje pokročilé priestorové myslenie,“hovorí Henry. Dnes je už absolventom Oxfordského postgraduálneho a doktorandského štúdia na Stanfordských univerzitách a zastáva pozíciu docenta na University of Oklahoma.

Úspešná vedecká kariéra je však len jednou stránkou jeho mnohostrannej osobnosti: pred viac ako 12 rokmi začal matematik organizovať umelecké podujatia… vo virtuálnom svete Second Life.

Veľmi populárny bol vtedy tento trojrozmerný simulátor s prvkami sociálnej siete, umožňujúci užívateľom nielen medzi sebou komunikovať, ale aj vybaviť svojich virtuálnych „avatarov“a priestory pre zábavu, prácu atď.

Meno: Henry Segerman

Narodený v roku 1979

Vzdelanie: Stanfordská univerzita

Mesto: Stillwater, USA

Motto: "Vezmi si len jeden nápad, ale ukáž ho čo najjasnejšie."

Segerman sem prišiel, vyzbrojený vzorcami a číslami, a usporiadal svoj virtuálny svet matematickým spôsobom, naplnil ho bezprecedentnými fraktálovými obrazcami, špirálami a dokonca aj tesseraktmi, štvorrozmernými hyperkockami. „Výsledkom je projekcia štvorrozmernej hyperkocky v trojrozmernom vesmíre Second Life – ktorý je sám o sebe projekciou trojrozmerného virtuálneho sveta na dvojrozmernú, plochú obrazovku,“poznamenáva umelec.

Hilbertova krivka: súvislá čiara vypĺňa priestor kocky, ktorá sa nikdy neprerušuje ani nepretína sama so sebou.

Hilbertove krivky sú fraktálne štruktúry a ak si ich priblížite, môžete vidieť, že časti tejto krivky kopírujú tvar celku. „Videl som ich tisíckrát na ilustráciách a počítačových modeloch, ale keď som prvýkrát vzal takúto 3D sochu do rúk, okamžite som si všimol, že je tiež pružná,“hovorí Segerman. "Fyzické stelesnenie matematických pojmov vždy niečím prekvapí."

Oveľa viac sa mu však páčila práca s hmotnými sochami. „Stále okolo nás koluje obrovské množstvo informácií,“hovorí Segerman. - Našťastie, skutočný svet má veľmi veľkú šírku pásma, ktorá ešte nie je dostupná na webe.

Dajte človeku hotovú vec, integrálnu formu - a okamžite ju bude vnímať v celej jej zložitosti, bez čakania na načítanie. Od roku 2009 teda Segerman vytvoril niečo vyše sto sôch a každá z nich je vizuálnym a v rámci možností presným fyzickým stelesnením abstraktných matematických pojmov a zákonitostí.

Polyhedra

Evolúcia Segermanových umeleckých experimentov s 3D tlačou podivne opakuje evolúciu matematických predstáv. Medzi jeho prvé experimenty patrili klasické platónske telesá, súbor piatich symetrických obrazcov, poskladaných do pravidelných trojuholníkov, päťuholníkov a štvorcov. Po nich nasledovali polopravidelné mnohosteny - 13 archimedovských telies, ktorých steny sú tvorené nerovnakými pravidelnými mnohouholníkmi.

Stanford Rabbit 3D model vytvorený v roku 1994. Skladá sa z takmer 70 000 trojuholníkov a slúži ako jednoduchý a obľúbený test výkonnosti softvérových algoritmov. Napríklad na králikovi môžete otestovať efektivitu kompresie dát či vyhladzovania povrchu pre počítačovú grafiku.

Preto je pre špecialistov táto forma rovnaká ako fráza „Eat some more of these soft French rolls“pre tých, ktorí sa radi hrajú s počítačovým písmom. Rovnakým modelom je aj socha Stanford Bunny, ktorej povrch je vydláždený písmenami slova zajačik.

Už tieto jednoduché formy, ktoré prešli z dvojrozmerných ilustrácií a ideálneho sveta predstavivosti do trojrozmernej reality, vyvolávajú vnútorný obdiv k ich lakonickej a dokonalej kráse. „Vzťah medzi matematickou krásou a krásou vizuálnych či zvukových umeleckých diel sa mi zdá veľmi krehký.

Koniec koncov, mnohí ľudia si veľmi dobre uvedomujú jednu formu tejto krásy, úplne nerozumejú druhej. Matematické myšlienky sa dajú previesť do viditeľných alebo vokálnych foriem, ale nie do všetkých a nie tak ľahko, ako by sa mohlo zdať, “dodáva Segerman.

Čoskoro nasledovali klasické figúry čoraz zložitejšie formy až po tie, ktoré by Archimedes alebo Pytagoras sotva napadli - pravidelné mnohosteny, ktoré bez prestávky vypĺňajú Lobačevského hyperbolický priestor.

Takéto figúrky s neuveriteľnými názvami ako "tetraedrický plást rádu 6" alebo "šesťhranný mozaikový plást" si nemožno predstaviť bez vizuálneho obrazu. Alebo - jedna zo sôch od Segermana, ktoré ich reprezentujú v našom obvyklom trojrozmernom euklidovskom priestore.

Platónske telesá: štvorsten, osemsten a dvadsaťsten zložené do pravidelných trojuholníkov, ako aj kocka a dvadsaťsten pozostávajúce zo štvorcov na báze päťuholníkov.

Sám Platón ich spájal so štyrmi prvkami: „hladké“osemsteny, podľa jeho názoru, poskladaný vzduch, „tekuté“dvadsaťsteny – voda, „husté“kocky – zem a ostré a „ostnaté“trojsteny – oheň. Piaty prvok, dvanásťsten, považoval filozof za časticu sveta ideí.

Umelcova práca začína 3D modelom, ktorý zostavuje v profesionálnom balíku Rhinoceros. Celkovo to takto končí: samotná výroba sôch, tlač modelu na 3D tlačiarni, Henry si jednoducho objedná cez Shapeways, veľkú online komunitu nadšencov 3D tlače, a dostane hotový predmet vyrobený z plastu alebo kompozitov kovovej matrice na báze ocele a bronzu. "Je to veľmi jednoduché," hovorí. "Stačí nahrať model na stránku, kliknúť na tlačidlo Pridať do košíka, zadať objednávku a o pár týždňov vám bude doručený poštou."

Obrázok 8 Doplnenie Predstavte si, že zaviažete uzol vo vnútri pevnej látky a potom ho odstránite; zostávajúca dutina sa nazýva doplnok uzla. Tento model zobrazuje pridanie jedného z najjednoduchších uzlov, osmičky.

krása

Nakoniec, vývoj Segermanových matematických sôch nás zavedie do komplexnej a fascinujúcej oblasti topológie. Tento odbor matematiky študuje vlastnosti a deformácie rovinných plôch a priestorov rôznych rozmerov, pričom sú preň dôležité ich širšie charakteristiky ako pre klasickú geometriu.

Tu možno kocku ľahko premeniť na guľu ako plastelínu a z pohára s uškom zvinúť šišku bez toho, aby sa v nej niečo dôležité rozbilo – známy príklad zhmotnený v Segermanovom elegantnom Topologickom vtipe.

Tesseract je štvorrozmerná kocka: rovnako ako štvorec možno získať posunutím segmentu kolmého naň vo vzdialenosti rovnajúcej sa jeho dĺžke, kocku možno získať podobným kopírovaním štvorca v troch rozmeroch a posunutím kocky vo štvrtom „nakreslíme“tesseract, čiže hyperkocku. Bude mať 16 vrcholov a 24 stien, ktorých projekcie do nášho trojrozmerného priestoru vyzerajú len málo ako obyčajná trojrozmerná kocka.

"V matematike je estetický zmysel veľmi dôležitý, matematici milujú" krásne "vety," tvrdí umelec. - Je ťažké určiť, v čom presne táto krása spočíva, ako aj v iných prípadoch. Ale povedal by som, že krása vety je v jej jednoduchosti, ktorá vám umožňuje niečo pochopiť, vidieť niektoré jednoduché súvislosti, ktoré sa predtým zdali neuveriteľne zložité.

V srdci matematickej krásy môže byť čistý, efektívny minimalizmus - a prekvapené zvolanie "Aha!" ". Hlboká krása matematiky môže byť rovnako skľučujúca ako ľadová večnosť paláca Snehovej kráľovnej. Celá táto studená harmónia však vždy odráža vnútornú usporiadanosť a pravidelnosť Vesmíru, v ktorom žijeme. Matematika je len jazyk, ktorý sa neomylne hodí do tohto elegantného a zložitého sveta.

Paradoxne obsahuje fyzikálne korešpondencie a aplikácie pre takmer akýkoľvek výrok v jazyku matematických vzorcov a vzťahov. Aj tie najabstraktnejšie a „umelé“konštrukcie si skôr či neskôr nájdu uplatnenie v reálnom svete.

Topologický vtip: z určitého pohľadu sú povrchy kruhu a donutu „rovnaké“, alebo presnejšie povedané, sú homeomorfné, pretože sa dokážu navzájom premieňať bez zlomov a lepidiel. postupná deformácia.

Euklidovská geometria sa stala odrazom klasického stacionárneho sveta, pre newtonovskú fyziku prišiel vhod diferenciálny počet. Neuveriteľná Riemannova metrika, ako sa ukázalo, je nevyhnutná na opísanie Einsteinovho nestabilného vesmíru a multidimenzionálne hyperbolické priestory našli uplatnenie v teórii strún.

V tejto zvláštnej zhode abstraktných výpočtov a čísel so základmi našej reality sa možno skrýva tajomstvo krásy, ktorú nevyhnutne cítime za všetkými chladnými výpočtami matematikov.