Obsah:

Plochý, guľový alebo hyperbolický tvar nášho vesmíru?
Plochý, guľový alebo hyperbolický tvar nášho vesmíru?

Video: Plochý, guľový alebo hyperbolický tvar nášho vesmíru?

Video: Plochý, guľový alebo hyperbolický tvar nášho vesmíru?
Video: Mikhail Khodorkovsky | Cambridge Union 2024, Marec
Anonim

Z nášho pohľadu je vesmír nekonečný. Dnes vieme, že Zem má tvar gule, no o tvare Vesmíru uvažujeme len zriedka. V geometrii existuje veľa trojrozmerných tvarov ako alternatíva k „známemu“nekonečnému priestoru. Autori vysvetľujú rozdiel v najdostupnejšej forme.

Pri pohľade na nočnú oblohu sa zdá, že vesmír pokračuje večne vo všetkých smeroch. Takto si predstavujeme vesmír - ale nie skutočnosť, že je to pravda. Koniec koncov, boli časy, keď si každý myslel, že Zem je plochá: zakrivenie zemského povrchu je nepostrehnuteľné a predstava, že Zem je guľatá, sa zdala nepochopiteľná.

Dnes vieme, že Zem má tvar gule. Ale len zriedka premýšľame o tvare vesmíru. Keď guľa nahradila plochú zem, iné trojrozmerné formy ponúkajú alternatívy k „známemu“nekonečnému priestoru.

O tvare vesmíru možno položiť dve otázky – samostatné, ale navzájom súvisiace. Jedna sa týka geometrie – pedantných výpočtov uhlov a plôch. Ďalší je o topológii: ako sa jednotlivé časti spájajú do jednej formy.

Kozmologické údaje naznačujú, že viditeľná časť vesmíru je hladká a homogénna. Miestna štruktúra priestoru vyzerá takmer rovnako v každom bode a v každom smere. Týmto charakteristikám zodpovedajú len tri geometrické tvary – plochý, sférický a hyperbolický. Pozrime sa postupne na tieto tvary, niektoré topologické úvahy a závery založené na kozmologických údajoch.

Plochý vesmír

V skutočnosti ide o školskú geometriu. Súčet uhlov trojuholníka je 180 stupňov a plocha kruhu je πr2. Najjednoduchším príkladom plochého trojrozmerného tvaru je obyčajný nekonečný priestor, matematici ho nazývajú euklidovský, ale existujú aj iné ploché možnosti.

Nie je ľahké si tieto tvary predstaviť, ale svoju intuíciu môžeme spojiť myslením v dvoch rozmeroch namiesto troch. Okrem bežnej euklidovskej roviny môžeme vytvárať ďalšie ploché tvary vyrezaním kúska roviny a zlepením jej okrajov. Povedzme, že vystrihneme obdĺžnikový kus papiera a jeho protiľahlé okraje prilepíme páskou. Ak prilepíte horný okraj k spodnému okraju, dostanete valec.

Môžete tiež prilepiť pravý okraj k ľavému - potom dostaneme donut (matematici nazývajú tento tvar torus).

Pravdepodobne budete namietať: "Niečo nie je príliš ploché." A budete mať pravdu. Trochu sme podvádzali o plochý torus. Ak sa naozaj pokúsite urobiť torus z kusu papiera týmto spôsobom, narazíte na určité ťažkosti. Je ľahké vyrobiť valec, ale nebude fungovať prilepenie jeho koncov: papier sa pokrčí pozdĺž vnútorného kruhu torusu, ale nebude to stačiť na vonkajší kruh. Takže musíte vziať nejaký elastický materiál. Ale strečing mení dĺžku a uhly, a teda aj celú geometriu.

Je nemožné skonštruovať skutočný hladký fyzický torus z plochého materiálu vo vnútri obyčajného trojrozmerného priestoru bez narušenia geometrie. Ostáva abstraktne špekulovať o tom, aké to je žiť vo vnútri plochého torusu.

Predstavte si, že ste dvojrozmerná bytosť, ktorej vesmír je plochý torus. Keďže tvar tohto vesmíru je založený na plochom hárku papiera, všetky geometrické fakty, na ktoré sme zvyknutí, zostávajú rovnaké - aspoň v obmedzenom meradle: uhly trojuholníka sú sčítané až do 180 stupňov atď. Ale so zmenou globálnej topológie prostredníctvom orezávania a lepenia sa život dramaticky zmení.

Na začiatok má torus rovné čiary, ktoré sa zacyklia a vrátia sa do východiskového bodu.

Na zdeformovanom toruse vyzerajú zakrivené, no obyvateľom plochého torusu sa zdajú rovné. A keďže sa svetlo šíri priamočiaro, ak sa pozriete priamo ktorýmkoľvek smerom, uvidíte sa zozadu.

Akoby vami na pôvodnom papieri prešlo svetlo, prešlo k ľavému okraju a potom sa znovu objavilo na pravom, ako vo videohre.

Tu je ďalší spôsob, ako o tom premýšľať: vy (alebo lúč svetla) prekročíte jednu zo štyroch hrán a ocitnete sa v novej miestnosti, ale v skutočnosti je to tá istá miestnosť, len z iného uhla pohľadu. Pri potulkách takýmto vesmírom narazíte na nekonečné množstvo kópií pôvodnej miestnosti.

To znamená, že kamkoľvek sa pozriete, vezmete si nekonečné množstvo svojich kópií. Ide o akýsi zrkadlový efekt, len tieto kópie nie sú presne odrazy.

Na toruse každý z nich zodpovedá jednej alebo druhej slučke, po ktorej sa svetlo vracia späť k vám.

Rovnakým spôsobom získame plochý trojrozmerný torus zlepením protiľahlých plôch kocky alebo inej krabice. Tento priestor nebudeme môcť zobraziť vo vnútri obyčajného nekonečného priestoru - jednoducho sa tam nezmestí - ale budeme môcť abstraktne špekulovať o živote v ňom.

Ak je život v dvojrozmernom toruse ako nekonečné dvojrozmerné pole identických pravouhlých miestností, potom život v trojrozmernom toruse je ako nekonečné trojrozmerné pole identických kubických miestností. Aj vy uvidíte nekonečné množstvo vlastných kópií.

Trojrozmerný torus je len jedným z desiatich variantov konečného plochého sveta. Existujú aj nekonečné ploché svety - napríklad trojrozmerný analóg nekonečného valca. Každý z týchto svetov bude mať svoju „miestnosť smiechu“s „odrazmi“.

Mohol by byť náš vesmír jednou z plochých foriem?

Keď sa pozrieme do vesmíru, nevidíme nekonečné množstvo vlastných kópií. Bez ohľadu na to, odstránenie plochých tvarov nie je jednoduché. Po prvé, všetky majú rovnakú lokálnu geometriu ako euklidovský priestor, takže ich nebude možné rozlíšiť lokálnymi meraniami.

Povedzme, že ste dokonca videli svoju vlastnú kópiu, tento vzdialený obrázok iba ukazuje, ako ste vy (alebo vaša galaxia ako celok) vyzerali v dávnej minulosti, pretože svetlo prešlo dlhú cestu, kým sa k vám nedostalo. Možno vidíme aj vlastné kópie – no zmenené na nepoznanie. Okrem toho sú rôzne kópie v rôznych vzdialenostiach od vás, takže nie sú rovnaké. A navyše tak ďaleko, že aj tak nič neuvidíme.

Aby astronómovia obišli tieto ťažkosti, zvyčajne nehľadajú svoje kópie, ale opakujúce sa prvky v najvzdialenejšom viditeľnom jave - kozmickom mikrovlnnom žiarení pozadia, to je pozostatok Veľkého tresku. V praxi to znamená hľadať dvojice kruhov so zodpovedajúcimi vzormi horúcich a studených miest – predpokladá sa, že sú rovnaké, len z rôznych strán.

Astronómovia vykonali práve takéto pátranie v roku 2015 vďaka Planckovmu vesmírnemu teleskopu. Dali dohromady údaje o typoch zhodných kruhov, ktoré očakávame, že uvidíme vo vnútri plochého 3D torusu alebo iného plochého 3D tvaru - takzvanej platne - ale nič nenašli. To znamená, že ak žijeme v toruse, potom sa zdá, že je taký veľký, že akékoľvek opakujúce sa fragmenty ležia mimo pozorovateľného vesmíru.

Sférický tvar

Veľmi dobre poznáme dvojrozmerné gule - to je povrch gule, pomaranča alebo Zeme. Ale čo ak je náš vesmír trojrozmerná guľa?

Nakresliť trojrozmernú guľu je ťažké, ale je ľahké ju opísať jednoduchou analógiou. Ak je dvojrozmerná guľa súborom všetkých bodov v pevnej vzdialenosti od nejakého centrálneho bodu v bežnom trojrozmernom priestore, trojrozmerná guľa (alebo „trisféra“) je súborom všetkých bodov v pevnej vzdialenosti od nejakého centrálny bod v štvorrozmernom priestore.

Život vo vnútri trisféry je veľmi odlišný od života v plochom priestore. Aby ste si to predstavili, predstavte si, že ste dvojrozmerná bytosť v dvojrozmernej sfére. Dvojrozmerná guľa je celý vesmír, preto nevidíte trojrozmerný priestor, ktorý vás obklopuje, a nemôžete sa doň dostať. V tomto sférickom vesmíre sa svetlo pohybuje najkratšou cestou: vo veľkých kruhoch. Ale tieto kruhy sa vám zdajú priame.

Teraz si predstavte, že sa vy a váš 2D kamoš sedíte na severnom póle a on sa vybral na prechádzku. Keď sa odsťahujete, najskôr sa to vo vašom vizuálnom okruhu postupne zmenší – ako v bežnom svete, aj keď nie tak rýchlo, ako sme zvyknutí. Je to preto, že ako sa váš vizuálny kruh zväčšuje, váš priateľ ho zaberá čoraz menej.

Ale akonáhle váš priateľ prekročí rovník, stane sa niečo zvláštne: začne sa zväčšovať, hoci v skutočnosti sa stále vzďaľuje. Je to preto, že percento, ktoré zaberajú vo vašom vizuálnom kruhu, sa zvyšuje.

Tri metre od južného pólu bude váš priateľ vyzerať, akoby stál tri metre od vás.

Po dosiahnutí južného pólu úplne vyplní celý váš viditeľný horizont.

A keď na južnom póle nikto nebude, váš vizuálny horizont bude ešte podivnejší – ste to vy. Je to preto, že svetlo, ktoré vyžarujete, sa bude šíriť po celej sfére, kým sa nevráti.

To priamo ovplyvňuje život v 3D sfére. Každý bod trisféry má svoj protipól a ak sa tam nachádza nejaký objekt, uvidíme ho na celej oblohe. Ak tam nič nie je, uvidíme sa v pozadí - ako keby bol náš vzhľad prekrytý balónom, potom otočený naruby a nafúknutý na celý horizont.

Ale aj keď je trisféra základným modelom pre sférickú geometriu, nie je to ani zďaleka jediný možný priestor. Tak ako sme stavali rôzne ploché modely rezaním a lepením kúskov euklidovského priestoru, tak môžeme stavať guľové lepením vhodných kúskov trisféry. Každý z týchto zlepených tvarov bude mať, podobne ako torus, efekt „izby smiechu“, len počet miestností v guľovitých tvaroch bude konečný.

Čo ak je náš vesmír sférický?

Ani tí najväčší narcisti z nás sa nevnímajú ako pozadie namiesto nočnej oblohy. Ale ako v prípade plochého torusu, to, že niečo nevidíme, vôbec neznamená, že to neexistuje. Hranice sférického vesmíru môžu byť väčšie ako hranice viditeľného sveta a pozadie jednoducho nie je viditeľné.

Ale na rozdiel od torusu je možné sférický vesmír detekovať pomocou miestnych meraní. Sférické tvary sa od nekonečného euklidovského priestoru líšia nielen globálnou topológiou, ale aj malou geometriou. Napríklad, keďže priame čiary v sférickej geometrii sú veľké kruhy, trojuholníky sú „bacuľatejšie“ako tie euklidovské a súčet ich uhlov presahuje 180 stupňov.

Meranie kozmických trojuholníkov je v podstate hlavným spôsobom, ako skontrolovať, ako je vesmír zakrivený. Pre každý horúci alebo studený bod na kozmickom mikrovlnnom pozadí je známy jeho priemer a vzdialenosť od Zeme, ktoré tvoria tri strany trojuholníka. Môžeme zmerať uhol, ktorý zviera škvrna na nočnej oblohe – a to bude jeden z rohov trojuholníka. Potom môžeme skontrolovať, či kombinácia dĺžok strán a súčtu uhlov zodpovedá rovinnej, sférickej alebo hyperbolickej geometrii (kde súčet uhlov trojuholníka je menší ako 180 stupňov).

Väčšina týchto výpočtov spolu s ďalšími meraniami zakrivenia predpokladá, že vesmír je buď úplne plochý, alebo je k nemu veľmi blízko. Jeden výskumný tím nedávno naznačil, že niektoré údaje z roku 2018 z Planckovho vesmírneho teleskopu hovoria skôr v prospech sférického vesmíru, hoci iní vedci tvrdili, že prezentované dôkazy možno pripísať štatistickej chybe.

Hyperbolická geometria

Na rozdiel od gule, ktorá sa uzatvára do seba, sa hyperbolická geometria alebo priestor s negatívnym zakrivením otvára smerom von. Toto je geometria klobúka so širokým okrajom, koralového útesu a sedla. Základným modelom hyperbolickej geometrie je nekonečný priestor, rovnako ako plochý euklidovský. Ale keďže sa hyperbolický tvar rozširuje smerom von oveľa rýchlejšie ako plochý, neexistuje spôsob, ako vtesnať do bežného euklidovského priestoru ani dvojrozmernú hyperbolickú rovinu, ak nechceme deformovať jej geometriu. Existuje však skreslený obraz hyperbolickej roviny známej ako Poincarého disk.

Z nášho pohľadu sa trojuholníky v blízkosti hraničnej kružnice zdajú byť oveľa menšie ako tie v blízkosti stredu, no z pohľadu hyperbolickej geometrie sú všetky trojuholníky rovnaké. Ak by sme sa pokúsili zobraziť tieto trojuholníky skutočne rovnakej veľkosti – možno s použitím elastického materiálu a postupným nafúknutím každého trojuholníka smerom od stredu smerom von – náš disk by pripomínal klobúk so širokým okrajom a ohýbal by sa stále viac a viac. A keď sa priblížite k hranici, toto zakrivenie sa vymkne kontrole.

V bežnej euklidovskej geometrii je obvod kruhu priamo úmerný jeho polomeru, ale v hyperbolickej geometrii kružnica rastie exponenciálne vzhľadom na polomer. V blízkosti hranice hyperbolického disku sa vytvorí hromada trojuholníkov

Kvôli tejto vlastnosti matematici radi hovoria, že je ľahké sa stratiť v hyperbolickom priestore. Ak sa váš priateľ vzďaľuje od vás v normálnom euklidovskom priestore, začne sa vzďaľovať, ale skôr pomaly, pretože váš vizuálny kruh sa tak rýchlo nezväčšuje. V hyperbolickom priestore sa váš vizuálny kruh exponenciálne rozširuje, takže váš priateľ sa čoskoro zmenší na nekonečne malú škvrnu. Takže ak ste nesledovali jeho trasu, je nepravdepodobné, že ho neskôr nájdete.

Aj v hyperbolickej geometrii je súčet uhlov trojuholníka menší ako 180 stupňov – napríklad súčet uhlov niektorých trojuholníkov z mozaiky Poincarého disku je len 165 stupňov.

Ich strany sa zdajú byť nepriame, ale je to preto, že sa na hyperbolickú geometriu pozeráme cez skresľujúcu šošovku. Pre obyvateľa Poincarého disku sú tieto krivky vlastne rovné čiary, takže najrýchlejší spôsob, ako sa dostať z bodu A do bodu B (oba na okraji), je cez rez do stredu.

Existuje prirodzený spôsob, ako vytvoriť trojrozmerný analóg Poincarého disku - vezmite trojrozmernú guľu a naplňte ju trojrozmernými tvarmi, ktoré sa postupne zmenšujú, keď sa približujú k hraničnej sfére, ako trojuholníky na Poincarého disku. A tak ako pri rovinách a guľách, aj tu môžeme vytvoriť celý rad ďalších trojrozmerných hyperbolických priestorov vystrihnutím vhodných kúskov trojrozmernej hyperbolickej gule a zlepením jej plôch.

Nuž, je náš vesmír hyperbolický?

Hyperbolická geometria so svojimi úzkymi trojuholníkmi a exponenciálne rastúcimi kruhmi vôbec nie je ako priestor okolo nás. V skutočnosti, ako sme už poznamenali, väčšina kozmologických meraní sa prikláňa k plochému vesmíru.

Nemôžeme však vylúčiť, že žijeme v sférickom alebo hyperbolickom svete, pretože malé fragmenty oboch svetov vyzerajú takmer plocho. Napríklad súčet uhlov malých trojuholníkov v sférickej geometrii je len o niečo väčší ako 180 stupňov a v hyperbolickej geometrii je len o niečo menší.

Preto si starovekí ľudia mysleli, že Zem je plochá – zakrivenie Zeme nie je viditeľné voľným okom. Čím väčší je sférický alebo hyperbolický tvar, tým plochejšia je každá z jeho častí, preto, ak má náš vesmír extrémne veľký sférický alebo hyperbolický tvar, jeho viditeľná časť je tak blízko k rovine, že jeho zakrivenie možno zistiť iba pomocou ultra presných prístrojov, a ešte sme ich nevymysleli….

Odporúča: